Ответ:

«Новое» отвечает на вопрос «какое?» и изменяется по родам, числам и падежам: это имя прилагательное в среднем роде.

«Хорошо» в значении «делает как?» — наречие. В предложении «Мне хорошо» слово может быть словом категории состояния; без контекста выбираем наиболее типичный разбор — наречие.

«Вдали» отвечает на вопрос «где?» и не изменяется — наречие.

«Домой» отвечает на вопрос «куда?» и не изменяется — наречие.

Ответ: новое — имя прилагательное; хорошо, вдали, домой — наречия.