2. Определи по рисунку, какую теорему можно применить для решения треугольника: 1) AB = 7, BC = 9, AC = 8; 2) ∠A = 60°, ∠B = 45°, AC = 4, BC = x; 3) ∠A = 45°, AC = 7, BC = x.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Известны три стороны: AB = 7, BC = 9, AC = 8. Применяется теорема косинусов, например для нахождения угла A: \(\cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{49+64-81}{112}=\frac{2}{7}\).
Сначала найдём третий угол: \(\angle C=180^\circ-60^\circ-45^\circ=75^\circ\). Известна сторона AC = 4, лежащая напротив угла B, и требуется сторона BC = x, лежащая напротив угла A. Применяется теорема синусов: \(\frac{x}{\sin 60^\circ}=\frac{4}{\sin 45^\circ}\), поэтому \(x=2\sqrt{6}\).
На рисунке известны только \(\angle A=45^\circ\), сторона AC = 7 и сторона BC = x. Это сторона и не противолежащий ей угол (SSA), поэтому теорема синусов в общем случае позволяет составить уравнение, но данных недостаточно, чтобы однозначно определить x. Нужна ещё одна сторона или угол.

Ответ: 1) теорема косинусов; 2) теорема синусов, \(x=2\sqrt{6}\); 3) для однозначного решения данных недостаточно.