Ответ:

Запятая ставится между однородными членами, если они соединены противительными союзами а, но, а также между однородными членами, не соединёнными союзом. Перед одиночным соединительным союзом и запятая не ставится.

  1. Ветер по морю гуляет и кораблик подгоняет. Запятая не нужна: однородные сказуемые соединены одиночным союзом и.
  2. Мультфильм был не цветной, а интересный. Запятая нужна перед противительным союзом а.
  3. Любит кошка рыбу, но в воду лезть не хочет. Запятая нужна перед противительным союзом но.
  4. В условии, вероятно, опечатка в слове «проболел». В предложении «Булка проболел шесть недель и выздоровел» запятая не нужна перед одиночным союзом и.
  5. Ребята пишут, читают, решают задачи. Запятые нужны между однородными сказуемыми без союзов.
  6. Держа голову в холоде, а ноги в тепле. Запятая нужна перед противительным союзом а между однородными членами.

Ответ: запятые нужны в предложениях 2, 3, 5 и 6.