2. Определите без построения, пересекаются ли графики функций: a) y = -4+2x; б) y = -4x+2; в) y = 2x-3; г) y = 2x+3. Без построения найдите координаты точки пересечения для каждой пары пересекающихся прямых. Постройте графики на одной координатной плоскости. Подпишите графики. Отметьте точки пересечения.

Решение:

2. Пересечение графиков функций:

Чтобы определить, пересекаются ли графики функций, нужно сравнить их угловые коэффициенты.

а) \( y = -4 + 2x \)

б) \( y = -4x + 2 \)

Угловые коэффициенты \( k_a = 2 \) и \( k_б = -4 \). Так как \( k_a \neq k_б \), графики функций а) и б) пересекаются.

Найдем точку пересечения, приравняв выражения:

\( -4 + 2x = -4x + 2 \)

\( 2x + 4x = 2 + 4 \)

\( 6x = 6 \)

\( x = 1 \)

Подставим \( x = 1 \) в любое из уравнений:

\( y = -4 + 2(1) = -4 + 2 = -2 \)

Точка пересечения графиков а) и б): (1; -2).

в) \( y = 2x - 3 \)

г) \( y = 2x + 3 \)

Угловые коэффициенты \( k_в = 2 \) и \( k_г = 2 \). Так как \( k_в = k_г \), графики функций в) и г) не пересекаются, они параллельны.

а) \( y = -4 + 2x \)

в) \( y = 2x - 3 \)

Угловые коэффициенты \( k_a = 2 \) и \( k_в = 2 \). Так как \( k_a = k_в \), графики функций а) и в) не пересекаются, они параллельны.

а) \( y = -4 + 2x \)

г) \( y = 2x + 3 \)

Угловые коэффициенты \( k_a = 2 \) и \( k_г = 2 \). Так как \( k_a = k_г \), графики функций а) и г) не пересекаются, они параллельны.

б) \( y = -4x + 2 \)

в) \( y = 2x - 3 \)

Угловые коэффициенты \( k_б = -4 \) и \( k_в = 2 \). Так как \( k_б \neq k_в \), графики функций б) и в) пересекаются.

Найдем точку пересечения, приравняв выражения:

\( -4x + 2 = 2x - 3 \)

\( 2 + 3 = 2x + 4x \)

\( 5 = 6x \)

\( x = \frac{5}{6} \)

Подставим \( x = \frac{5}{6} \) в любое из уравнений:

\( y = 2(\frac{5}{6}) - 3 = \frac{10}{6} - 3 = \frac{5}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{4}{3} \)

Точка пересечения графиков б) и в): \(\frac{5}{6}; -\frac{4}{3}\).

б) \( y = -4x + 2 \)

г) \( y = 2x + 3 \)

Угловые коэффициенты \( k_б = -4 \) и \( k_г = 2 \). Так как \( k_б \neq k_г \), графики функций б) и г) пересекаются.

Найдем точку пересечения, приравняв выражения:

\( -4x + 2 = 2x + 3 \)

\( 2 - 3 = 2x + 4x \)

\( -1 = 6x \)

\( x = -\frac{1}{6} \)

Подставим \( x = -\frac{1}{6} \) в любое из уравнений:

\( y = 2(-\frac{1}{6}) + 3 = -\frac{2}{6} + 3 = -\frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{8}{3} \)

Точка пересечения графиков б) и г): \(-\frac{1}{6}; \frac{8}{3}\).

в) \( y = 2x - 3 \)

г) \( y = 2x + 3 \)

Угловые коэффициенты \( k_в = 2 \) и \( k_г = 2 \). Так как \( k_в = k_г \), графики функций в) и г) не пересекаются, они параллельны.

Графики на одной координатной плоскости:

Ответ:

а) и б) пересекаются в точке (1; -2).

б) и в) пересекаются в точке (5/6; -4/3).

б) и г) пересекаются в точке (-1/6; 8/3).

Графики а) и в), а) и г), в) и г) параллельны и не пересекаются.