В предложении «Мы предложили ему отдохнуть после долгой дороги» инфинитив 'отдохнуть' отвечает на вопрос 'что сделать?' и относится к местоимению 'ему', которое является косвенным дополнением. Инфинитив в данном случае поясняет глагол 'предложили', показывая, что именно предложили. Это дополнение.
Ответ: В) Дополнение.