2. Определите вид треугольника, если длины его сторон равны: а) 17 см; 19 см; 20 см; б) 32 дм; 23 дм; 32 дм.

Объяснение:

Для определения вида треугольника по сторонам, нужно знать теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника:

• Если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник тупоугольный.
• Если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
• Если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник остроугольный.

а) Стороны: 17 см, 19 см, 20 см.

Наибольшая сторона = 20 см.

Проверим теорему Пифагора (для проверки остроугольности/тупоугольности/прямоугольности):

\[ 20^2 = 17^2 + 19^2 \]

\[ 400 = 289 + 361 \]

\[ 400 = 650 \]

Так как 400 < 650, то квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон. Следовательно, треугольник остроугольный.

б) Стороны: 32 дм, 23 дм, 32 дм.

Это равнобедренный треугольник, так как две стороны равны (32 дм).

Наибольшая сторона = 32 дм.

Проверим теорему Пифагора:

\[ 32^2 = 32^2 + 23^2 \]

\[ 1024 = 1024 + 529 \]

Здесь мы сравниваем квадрат одной из равных сторон с суммой квадратов другой равной стороны и основания. Это не совсем корректно для определения вида тупоугольности/остроугольности, если есть равные стороны. Правильнее проверить соотношение наибольшей стороны с суммой двух других, но для равнобедренного треугольника, если основание меньше равных сторон, то углы при основании острые. Угол напротив основания может быть любым. Давайте проверим, будет ли он тупым или острым, используя теорему косинусов, или просто оценим.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть углы при основании равны $$\alpha$$, а угол при вершине равен $$\beta$$.

\[ 32^2 = 32^2 + 23^2 - 2 \times 32 \times 23 \times \cos(\alpha) \]

\[ 0 = 529 - 1472 \times \cos(\alpha) \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{529}{1472} \approx 0.36 \]

Так как $$\cos(\alpha) > 0$$, угол $$\alpha$$ острый.

Теперь проверим угол $$\beta$$ напротив основания (23 дм):

\[ 23^2 = 32^2 + 32^2 - 2 \times 32 \times 32 \times \cos(\beta) \]

\[ 529 = 1024 + 1024 - 2048 \times \cos(\beta) \]

\[ 529 = 2048 - 2048 \times \cos(\beta) \]

\[ 2048 \times \cos(\beta) = 2048 - 529 \]

\[ 2048 \times \cos(\beta) = 1519 \]

\[ \cos(\beta) = \frac{1519}{2048} \approx 0.74 \]

Так как $$\cos(\beta) > 0$$, угол $$\beta$$ острый. Все углы острые.

Ответ: а) остроугольный; б) остроугольный.