2. Остроугольный △ABC, у которого угол A равен 60°, вписан в окружность с центром в точке O. Высоты треугольника BB₁ и CC₁ пересекаются в точке H. а) Докажите, что AH = AO. б) Найдите площадь △AHO, если BC = 6√3 и ∠ABC = 45°.

а) Пусть радиус описанной окружности равен R, а векторы положения точек A, B, C относительно O обозначены соответственно a, b, c. Их длины равны R. Вектор h = a + b + c задаёт точку пересечения высот: например, (h − b) · (c − a) = (a + c) · (c − a) = |c|² − |a|² = 0, поэтому BH перпендикулярна AC; аналогично выполняется условие для другой высоты.

Тогда вектор AH равен b + c. Центральный угол, соответствующий хорде BC, равен 2∠A, поэтому b · c = R² cos 2A. Следовательно, AH² = |b + c|² = 2R² + 2R² cos 2A = 4R² cos² A, откуда AH = 2R cos A. При A = 60° получаем AH = R = AO.

б) По теореме синусов BC = 2R sin A. Поэтому 6√3 = 2R sin 60° = R√3, откуда R = 6. Значит, AO = AH = 6.

Так как ∠B = 45°, угол между AB и высотой AH равен 90° − ∠B = 45°, то есть ∠BAH = 45°. В равнобедренном треугольнике AOB центральный угол ∠AOB = 2∠ACB. Здесь ∠C = 180° − 60° − 45° = 75°, поэтому ∠AOB = 150° и ∠BAO = 15°. Следовательно, ∠HAO = ∠BAH − ∠BAO = 30°.

S△AHO = 1/2 · AH · AO · sin ∠HAO = 1/2 · 6 · 6 · sin 30° = 9.

Ответ: площадь △AHO равна 9.