2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) \(\dfrac{15x}{\sqrt[4]{5x}}\); б) \(\dfrac{12}{2\sqrt2+\sqrt6}\); в) \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}\).

а) Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt[4]{(5x)^3}\), чтобы знаменатель стал целым:

\[\frac{15x}{\sqrt[4]{5x}}\cdot\frac{\sqrt[4]{(5x)^3}}{\sqrt[4]{(5x)^3}}=\frac{15x\sqrt[4]{125x^3}}{5x}=3\sqrt[4]{125x^3}.\]

б) Умножим на сопряжённое выражение:

\[\frac{12}{2\sqrt2+\sqrt6}\cdot\frac{2\sqrt2-\sqrt6}{2\sqrt2-\sqrt6}=\frac{12(2\sqrt2-\sqrt6)}{8-6}=6(2\sqrt2-\sqrt6).\]

в) Обозначим \(u=\sqrt[3]{2}\), \(v=\sqrt[3]{3}\). Тогда знаменатель равен \(u^2+uv+v^2\). Используем равенство \((u^2+uv+v^2)(v-u)=v^3-u^3=1\):

\[\frac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}.\]

Ответ: а) \(3\sqrt[4]{125x^3}\); б) \(6(2\sqrt2-\sqrt6)\); в) \(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}\).