2. Отметьте на координатной плоскости точки А(-3; −1) и В(-5; 1). а) Проведите через точку С(0; 2) прямую, параллельную прямой АВ. Найдите координаты точки пересечения этой прямой с осью абсцисс. б) Проведите через точку К(-4; 2) прямую, перпендикулярную прямой АВ. Найдите координаты точки пересечения этой прямой с прямой АВ.

Решение задачи 2:

Дано: Точки А(-3; -1), В(-5; 1), С(0; 2), К(-4; 2).

Найти: а) Координаты точки пересечения прямой, параллельной АВ и проходящей через С, с осью абсцисс. б) Координаты точки пересечения прямой, перпендикулярной АВ и проходящей через К, с прямой АВ.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Находим уравнение прямой АВ.

• Угловой коэффициент прямой АВ ($$k_{AB}$$) вычисляется по формуле: $$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
• $$k_{AB} = \frac{1 - (-1)}{-5 - (-3)} = \frac{1 + 1}{-5 + 3} = \frac{2}{-2} = -1$$.
• Уравнение прямой АВ: $$y - y_1 = k_{AB}(x - x_1)$$. Возьмем точку А(-3; -1):
• $$y - (-1) = -1(x - (-3))$$
• $$y + 1 = -1(x + 3)$$
• $$y + 1 = -x - 3$$
• $$y = -x - 4$$.

а) Прямая, параллельная АВ, проходящая через С(0; 2).

• Угловой коэффициент параллельной прямой ($$k_{паралл}$$) равен $$k_{AB}$$, то есть $$k_{паралл} = -1$$.
• Уравнение параллельной прямой: $$y - y_C = k_{паралл}(x - x_C)$$
• $$y - 2 = -1(x - 0)$$
• $$y - 2 = -x$$
• $$y = -x + 2$$.
• Чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс (где y=0), подставим y=0 в уравнение:
• $$0 = -x + 2$$
• $$x = 2$$.

б) Прямая, перпендикулярная АВ, проходящая через К(-4; 2).

• Угловой коэффициент перпендикулярной прямой ($$k_{перпенд}$$) связан с $$k_{AB}$$ соотношением: $$k_{перпенд} = -\frac{1}{k_{AB}}$$.
• $$k_{перпенд} = -\frac{1}{-1} = 1$$.
• Уравнение перпендикулярной прямой: $$y - y_K = k_{перпенд}(x - x_K)$$
• $$y - 2 = 1(x - (-4))$$
• $$y - 2 = x + 4$$
• $$y = x + 6$$.
• Чтобы найти точку пересечения этой прямой с прямой АВ, приравняем их уравнения:
• $$y_{AB} = -x - 4$$
• $$y_{перпенд} = x + 6$$
• $$-x - 4 = x + 6$$
• $$-4 - 6 = x + x$$
• $$-10 = 2x$$
• $$x = -5$$.
• Подставим найденное значение x в уравнение прямой АВ (или перпендикулярной):
• $$y = -(-5) - 4 = 5 - 4 = 1$$.
• Таким образом, точка пересечения имеет координаты (-5; 1).

Ответ: а) Координаты точки пересечения с осью абсцисс: (2; 0). б) Координаты точки пересечения перпендикулярной прямой с прямой АВ: (-5; 1).