2. Отрезки AA₁, BB₁, CC₁ — медианы треугольника ABC, которые пересекаются в точке O. Выразите вектор \(\overrightarrow{OB_1}\) через векторы \(\vec a=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec b=\overrightarrow{BC}\).

Возьмём точку B за начало отсчёта. Тогда радиус-векторы точек A и C равны соответственно \(\vec a\) и \(\vec b\).

1. Поскольку B₁ — середина AC, \(\overrightarrow{BB_1}=\frac12(\vec a+\vec b)\).

2. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac23\overrightarrow{BB_1}=\frac13(\vec a+\vec b)\).

3. Вычтем векторы положения точек O и B₁ относительно B:

\(\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{BB_1}-\overrightarrow{BO}=\left(\frac12-\frac13\right)(\vec a+\vec b)=\frac16(\vec a+\vec b).\)

Ответ: \(\overrightarrow{OB_1}=\frac16(\vec a+\vec b)\).