2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них a) Докажите, что ∆АОС = ∆BOD. б) Найдите ∠OAC, если ∠ODB = 20°, ∠AOC = 115°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон равна 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника.

Решение:

1. 2. а) Доказательство:
   По условию, точка О является серединой отрезков АВ и CD. Это значит, что AO = OB и CO = OD. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными, следовательно, они равны. По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), треугольники ∆AOC и ∆BOD равны.
2. 2. б) Нахождение ∠OAC:
   В треугольнике ∆BOD: \( \angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180° \). Так как \( \angle BOD = \angle AOC = 115° \) (вертикальные углы), то \( \angle OBD + 20° + 115° = 180° \). \( \angle OBD = 180° - 135° = 45° \).
   В треугольнике ∆AOC: \( \angle OAC + \angle AOC + \angle ACO = 180° \). \( \angle OAC + 115° + \angle ACO = 180° \). \( \angle OAC + \angle ACO = 65° \>.
   Поскольку ∆AOC = ∆BOD, то \( \angle OAC = \angle OBD = 45° \) и \( \angle ACO = \angle ODB = 20° \).
3. 3. Нахождение длины боковой стороны:
   Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \). Периметр \( P = 2a + b = 64 \) см.
   Случай 1: Боковая сторона \( a = 16 \) см. Тогда \( 2 × 16 + b = 64 \), \( 32 + b = 64 \), \( b = 32 \) см. Стороны треугольника: 16, 16, 32. Сумма двух меньших сторон равна сумме большей стороны \( 16 + 16 = 32 \). Такой треугольник не существует (нарушено неравенство треугольника).
   Случай 2: Основание \( b = 16 \) см. Тогда \( 2a + 16 = 64 \), \( 2a = 48 \), \( a = 24 \) см. Стороны треугольника: 24, 24, 16. Неравенство треугольника выполняется: \( 24 + 16 > 24 \).

Ответ: 2. б) ∠OAC = 45°. 3. 24 см.