2. Отрезки MN и TP пересекаются в точке S, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что △MSP=△TSN. б) Найдите ∠SMP, если ∠TSN=64°, ∠SPM=47°.

Решение:

а) Доказательство равенства треугольников △MSP и △TSN:

1. По условию, точка S является серединой отрезков MN и TP. Это означает, что MS = SN и PS = ST.
2. Углы ∠MSP и ∠TSN являются вертикальными углами, поэтому они равны: \( \angle MSP = \angle TSN \).
3. Таким образом, у нас есть два треугольника (△MSP и △TSN), у которых равны две стороны и угол между ними (по двум сторонам и углу между ними, или по признаку СУС).
4. Следовательно, \( \triangle MSP = \triangle TSN \).

б) Нахождение ∠SMP:

1. Из равенства треугольников \( \triangle MSP = \triangle TSN \) следует, что соответствующие углы равны.
2. Поэтому \( \angle SMP = \angle STN \) и \( \angle MPS = \angle SNT \).
3. Мы знаем, что \( \angle TSN = 64° \) и \( \angle SPM = 47° \).
4. В треугольнике △TSN, \( \angle T = \angle STN \). Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( \angle STN = 180° - \angle TSN - \angle TN S \).
5. Мы не можем найти \( \angle STN \) напрямую, так как \( \angle TN S \) неизвестен.
6. Рассмотрим треугольник △MSP. Мы знаем \( \angle MPS = 47° \) (так как \( \angle MPS = \angle SNT \) из равенства треугольников, но нам нужно \( \angle SPM \) которое нам дано как \( 47° \)).
7. Однако, \( \angle SPM \) и \( \angle MPS \) — это один и тот же угол, если точки M, P, S лежат на одной прямой, но это не так. \( \angle SPM = 47° \) — это один из углов треугольника △MSP.
8. В треугольнике △MSP: \( \angle MSP + \angle SPM + \angle SMP = 180° \).
9. Мы знаем \( \angle MSP = \angle TSN = 64° \) (вертикальные углы).
10. Мы знаем \( \angle SPM = 47° \).
11. Теперь можем найти \( \angle SMP \): \( \angle SMP = 180° - \angle MSP - \angle SPM = 180° - 64° - 47° = 69° \).

Ответ: а) △MSP=△TSN по двум сторонам и углу между ними. б) ∠SMP = 69°.