2. Отрезок AB не пересекается с плоскостью α. Через концы отрезка AB и его середину — точку M — проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁, B₁ и M₁ соответственно. а) Докажите, что точки A₁, B₁ и M₁ лежат на одной прямой. б) Найдите AA₁, если BB₁ = 12 см, MM₁ = 8 см.

а) Так как через точки A, B и M проведены параллельные прямые, то направления отрезков AA₁, BB₁ и MM₁ одинаковы.

Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую AB и направление этих параллельных прямых. Плоскость β пересекает плоскость α по прямой A₁B₁. Поэтому точки A₁ и B₁ лежат на прямой A₁B₁.

Точка M является серединой отрезка AB. При параллельном проектировании на плоскость α середина отрезка переходит в середину его образа. Следовательно, M₁ — середина отрезка A₁B₁. Значит, точки A₁, M₁ и B₁ лежат на одной прямой.

б) При параллельном проектировании расстояния от точек отрезка до плоскости изменяются линейно. Поэтому для середины M выполняется:

\(MM_1=\dfrac{AA_1+BB_1}{2}\).

Подставим известные значения:

\(8=\dfrac{AA_1+12}{2}\);

\(16=AA_1+12\);

\(AA_1=4\) см.

Ответ: а) точки A₁, M₁ и B₁ лежат на одной прямой; б) \(AA_1=4\) см.