2. Отрезок AB пересекает плоскость α в точке C. Через точки A и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках A₁ и B₁. а) Докажите, что точки A₁, B₁ и C лежат на одной прямой. б) Найдите AB, если AA₁ = 9 см, BB₁ = 3 см, AC = 6 см.

а) Прямые AA₁ и BB₁ параллельны, поэтому они лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит прямую AB, а значит, и точку C. Точки A₁ и B₁ принадлежат этой же плоскости и плоскости α. Их линия пересечения проходит через A₁ и B₁. Точка C также принадлежит обеим плоскостям, поэтому C лежит на этой линии. Следовательно, A₁, B₁ и C коллинеарны.

б) Параллельное проектирование из точки C задаёт одинаковое отношение расстояний от C до соответствующих точек на прямой AB и на прямой A₁B₁. Поскольку отрезок AB пересекает плоскость в C, точки A и B расположены по разные стороны от неё; поэтому длины AA₁ и BB₁ относятся как AC и BC:

AC / BC = AA₁ / BB₁ = 9 / 3 = 3.

Тогда BC = 6 / 3 = 2 см, и AB = AC + CB = 6 + 2 = 8 см.

Ответ: а) точки A₁, B₁ и C лежат на одной прямой; б) AB = 8 см.