2. Перечислите и сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла

Определенный интеграл обладает рядом важных свойств, которые помогают упрощать вычисления и понимать его геометрический смысл.

1. Свойство аддитивности по отрезку интегрирования: Если точка \( c \) лежит между \( a \) и \( b \) (то есть \( a ≤ c ≤ b \)), то интеграл от \( a \) до \( b \) равен сумме интегралов от \( a \) до \( c \) и от \( c \) до \( b \):
   \( ∫_{a}^{b} f(x) dx = ∫_{a}^{c} f(x) dx + ∫_{c}^{b} f(x) dx \)
2. Свойство изменения порядка интегрирования: Если поменять местами пределы интегрирования, знак интеграла изменится на противоположный:
   \( ∫_{a}^{b} f(x) dx = - ∫_{b}^{a} f(x) dx \)
3. Интеграл от функции, равной нулю в каждой точке отрезка: Интеграл от нулевой функции равен нулю:
   \( ∫_{a}^{a} f(x) dx = 0 \)
4. Вынесение постоянного множителя за знак интеграла: Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:
   \( ∫_{a}^{b} k · f(x) dx = k · ∫_{a}^{b} f(x) dx \), где \( k \) — константа.
5. Свойство линейности (интеграл суммы/разности): Интеграл от суммы (или разности) функций равен сумме (или разности) интегралов от этих функций:
   \( ∫_{a}^{b} (f(x) ± g(x)) dx = ∫_{a}^{b} f(x) dx ± ∫_{a}^{b} g(x) dx \)
6. Свойство монотонности: Если на отрезке \( [a, b] \) функция \( f(x) ≥ g(x) \), то интеграл от \( f(x) \) не меньше интеграла от \( g(x) \):
   \( ∫_{a}^{b} f(x) dx ≥ ∫_{a}^{b} g(x) dx \) (при \( a < b \))
7. Оценка интеграла: Если \( m \) и \( M \) — наименьшее и наибольшее значения функции \( f(x) \) на отрезке \( [a, b] \), то:
   \( m(b-a) ≤ ∫_{a}^{b} f(x) dx ≤ M(b-a) \) (при \( a < b \))

Ответ: Перечислены и сформулированы основные свойства определенного интеграла.