Ответ:

Слитное написание по-прежнему, по-моему, по-быстрому зависит от того, является ли слово наречием; в сочетаниях предлога с прилагательным местоимением пишется раздельно. Союз следствия поэтому пишется слитно. Отрицательная частица не с наречиями пишется слитно, если слово можно заменить синонимом без НЕ.

  1. Дождь шёл по-прежнему часто. По-прежнему — наречие, пишется через дефис.
  2. По прежнему пути было нелегко идти. По — предлог, прежнему — местоимение-прилагательное; нелегко можно заменить словом «трудно».
  3. По моему виду нельзя было заметить что-то странное. По — предлог, моему — местоимение, поэтому написание раздельное.
  4. По-моему, отец неправ. По-моему — вводное слово со значением «как я считаю», выделяется запятой.
  5. По-быстрому выучить уроки. Наречие образовано от прилагательного с помощью приставки ПО- и суффикса -ому, поэтому пишется через дефис.
  6. Плыть по быстрому течению было непросто. По — предлог, быстрому — прилагательное; непросто означает «трудно».
  7. Он устал, поэтому лёг спать раньше обычного. Поэтому — союз со значением следствия.
  8. По этому предмету я получаю пятёрки. По — предлог, этому — указательное местоимение.

Синтаксический разбор предложения 8. Предложение повествовательное, невосклицательное, простое, двусоставное, распространённое, полное, неосложнённое. Грамматическая основа: я получаю. Я — подлежащее, выражено личным местоимением; получаю — простое глагольное сказуемое. Пятёрки — дополнение, выражено существительным; по предмету — обстоятельство, выражено существительным с предлогом; этому — определение при слове предмету.