2. Периметр прямоугольника ABCD равен 30 см. Биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M, принадлежащей стороне BC. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим AB = CD = x, а BC = AD = y. Из периметра получаем:

2(x + y) = 30, значит, x + y = 15.

Биссектриса прямого угла образует с каждой его стороной угол 45°. Поскольку M лежит на BC, для биссектрисы угла A горизонтальное и вертикальное смещения от A до M равны: каждое равно AB = x. Для биссектрисы угла D горизонтальное смещение от D до M равно x, а вертикальное — AD − x. Так как обе биссектрисы проходят через M, высота прямоугольника равна сумме этих вертикальных смещений: y = x + (AD − x) не дает дополнительного соотношения; удобнее заметить, что расстояния от M до прямых AB и CD равны, поскольку M равноудалена от сторон угла A и от сторон угла D. Координатно это дает M на высоте y/2, а из условия M ∈ BC следует x = y/2.

Тогда x + y = 15 и y = 2x, откуда 3x = 15, x = 5, y = 10.

Ответ: стороны прямоугольника — 5 см и 10 см.