2. Площадь основания конуса 9 см², а площадь полной поверхности его 24 см². Найдите объем конуса.

Решение:

Дано:

• Площадь основания конуса \( S_{осн} = 9 \text{ см}^2 \)
• Площадь полной поверхности конуса \( S_{полн} = 24 \text{ см}^2 \)

Найти:

• Объем конуса \( V \)

Решение:

1. Найдем площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 24 \text{ см}^2 - 9 \text{ см}^2 = 15 \text{ см}^2 \).
2. Площадь основания конуса вычисляется по формуле \( S_{осн} = \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания.
3. Из \( S_{осн} = 9 \text{ см}^2 \) найдем \( R \): \( \pi R^2 = 9 \implies R^2 = \frac{9}{\pi} \implies R = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \text{ см} \).
4. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле \( S_{бок} = \pi R l \), где \( l \) — образующая конуса.
5. Из \( S_{бок} = 15 \text{ см}^2 \) и найденного \( R \) найдем \( l \): \( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \cdot l \pi = 15 \implies 3\sqrt{\pi} l = 15 \implies l = \frac{15}{3\sqrt{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} \text{ см} \).
6. Найдем высоту конуса \( H \) по теореме Пифагора: \( H^2 = l^2 - R^2 \).
7. \( H^2 = \left(\frac{5}{\sqrt{\pi}}\right)^2 - \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{25}{\pi} - \frac{9}{\pi} = \frac{16}{\pi} \implies H = \sqrt{\frac{16}{\pi}} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \text{ см} \).
8. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} H \).
9. \( V = \frac{1}{3} \cdot 9 \text{ см}^2 \cdot \frac{4}{\sqrt{\pi}} \text{ см} = 3 \cdot \frac{4}{\sqrt{\pi}} = \frac{12}{\sqrt{\pi}} \text{ см}^3 \).

Ответ: Объем конуса равен \( \frac{12}{\sqrt{\pi}} \text{ см}^3 \).