2. Плоскость α пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках M и N соответственно, причём AM : MB = 3 : 4, CN : BC = 3 : 7. а) Докажите, что AC ∥ α. б) Найдите AC, если MN = 16 см.

а) Так как \(AM:MB=3:4\), то \(AB\) состоит из \(3+4=7\) частей, поэтому \(\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{4}{7}\).

Из условия \(CN:BC=3:7\), следовательно, \(BN=BC-CN\), и

\[\frac{BN}{BC}=1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}.\]

Получаем \(\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}\). По обратной теореме о пропорциональных отрезках \(MN\parallel AC\).

Прямая \(MN\) лежит в плоскости \(\alpha\), поэтому прямая \(AC\), параллельная прямой \(MN\), параллельна плоскости \(\alpha\).

б) Треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны, поэтому

\[\frac{MN}{AC}=\frac{BM}{BA}=\frac{4}{7}.\]

Подставим \(MN=16\) см:

\[\frac{16}{AC}=\frac{4}{7},\qquad AC=16\cdot\frac{7}{4}=28\text{ см}.\]

Ответ: а) \(AC\parallel\alpha\); б) \(AC=28\) см.