2. Плоскость α проходит через основание AD трапеции ABCD. Точки E и F — середины отрезков AB и CD соответственно. Докажите, что EF ∥ α.

Рассмотрим треугольник ABD. Так как E — середина AB, а F — середина CD — условие не позволяет заключить, что F лежит на стороне BD этого треугольника. Поэтому применить теорему о средней линии треугольника ABD непосредственно нельзя.

В стандартной конфигурации трапеции ABCD с основаниями AD и BC точки E и F — середины её боковых сторон AB и CD. Тогда EF — средняя линия трапеции, а значит, EF ∥ AD и EF ∥ BC. Поскольку прямая AD лежит в плоскости α, из EF ∥ AD следует, что EF либо параллельна плоскости α, либо лежит в ней. Но E и F в общем случае не принадлежат α, поэтому EF ∥ α.

В условии не указано, какие стороны трапеции являются основаниями. Для доказательства в приведённом виде необходимо, чтобы AD было основанием, а AB и CD — боковыми сторонами. Если подразумевается иное расположение, нужны дополнительные данные.