2. Плоскость α проходит через сторону AC треугольника ABC. Прямая MN пересекает стороны AB и BC данного треугольника в точках M и N соответственно, причём BN : NC = 2 : 3, AM : AB = 3 : 5. а) Докажите, что MN ∥ α. б) Найдите MN, если AC = 30 см.

а) Из условия \(AM:AB=3:5\) следует, что

\[\frac{BM}{BA}=1-\frac{AM}{AB}=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}.\]

Так как \(BN:NC=2:3\), то \(BC\) состоит из \(2+3=5\) частей, поэтому

\[\frac{BN}{BC}=\frac{2}{5}.\]

Следовательно, \(\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}\). По обратной теореме о пропорциональных отрезках \(MN\parallel AC\).

Прямая \(AC\) лежит в плоскости \(\alpha\), поэтому прямая \(MN\), параллельная прямой \(AC\), параллельна плоскости \(\alpha\).

б) Треугольники \(BMN\) и \(BAC\) подобны, значит,

\[\frac{MN}{AC}=\frac{BN}{BC}=\frac{2}{5}.\]

При \(AC=30\) см:

\[MN=30\cdot\frac{2}{5}=12\text{ см}.\]

Ответ: а) \(MN\parallel\alpha\); б) \(MN=12\) см.