2. По данным рисунка постройте: а) точки пересечения прямой BM с плоскостью AA₁C₁ и прямой D₁M с плоскостью ADB; прямой CM с плоскостью BB₁D₁ и прямой A₁M с плоскостью D₁AC; б) линию пересечения плоскости B₁AC с плоскостью BDD₁; плоскости C₁BD с плоскостью A₁AC.

Зададим координаты куба: A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(1; 1; 0); верхние вершины имеют координату z = 1. Пусть M = (m; 0; 0) лежит на AD.

а)

1. BM и AA₁C₁: плоскость AA₁C₁ задаётся равенством x = y. Пересечение — точка (m/(m + 1); m/(m + 1); 0).
2. D₁M и ADB: плоскость ADB является плоскостью основания куба, поэтому пересечение — точка M.
3. CM и BB₁D₁: плоскость BB₁D₁ задаётся равенством x + y = 1. Пересечение прямой CM с ней — точка ((m − 1)/(m − 2); 1/(m − 2); 0).
4. A₁M и D₁AC: плоскость D₁AC задаётся равенством x = y + z. Пересечение — точка (m/(m + 1); 0; 1/(m + 1)).

б)

1. Плоскости B₁AC и BDD₁ имеют общую точку D₁. Их вторая общая точка — точка пересечения прямой AC с прямой BD, то есть центр основания O. Следовательно, линия пересечения — D₁O.
2. Плоскость C₁BD задаётся равенством x + y = 1, а плоскость A₁AC — равенством x = y. Их пересечение — прямая через точку T = (1/2; 1/2; 0), середину AC, параллельная вертикальным рёбрам куба. Например, её можно задать точками T и серединой B₁D₁.