2. По данным Росстат за 2010-2021 гг. получено значение коэффициента корреляции 0,457. Х - пчелосемьи, тыс. штук Y - производство мёда, тонн а) Что показывает найденное значение коэффициента корреляции? б) Сформулируйте и проверьте гипотезу о статистической значимости полученного значения на уровне значимости 0,05 по t-критерию Стьюдента (средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии равна 9,10, критическое значение t равно 2,23).

Задание 2. Корреляционный анализ

Исходные данные:

• Коэффициент корреляции: \( r = 0.457 \)
• Независимая переменная (X): Пчелосемьи, тыс. штук
• Зависимая переменная (Y): Производство мёда, тонн
• Уровень значимости: \( \alpha = 0.05 \)
• Критическое значение t-критерия Стьюдента: \( t_{кр} = 2.23 \)

а) Что показывает найденное значение коэффициента корреляции?

Коэффициент корреляции \( r = 0.457 \) показывает умеренную положительную линейную связь между количеством пчелосемей и производством мёда. Это означает, что с увеличением числа пчелосемей, как правило, увеличивается и объем производства мёда.

б) Проверка гипотезы о статистической значимости

1. Формулировка гипотез:

• Нулевая гипотеза (H₀): \( \rho = 0 \) (Отсутствует линейная связь между количеством пчелосемей и производством мёда в генеральной совокупности).
• Альтернативная гипотеза (H₁): \( \rho \neq 0 \) (Существует линейная связь между количеством пчелосемей и производством мёда в генеральной совокупности).

2. Расчет t-статистики:

Для расчета t-статистики нам нужно знать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции (SE_r). В задании указана средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии, что может быть ошибкой в условии. Однако, если предположить, что \( 9.10 \) относится к ошибке коэффициента корреляции, мы можем продолжить. Если \( 9.10 \) — это ошибка коэффициента регрессии, то для расчета t-статистики корреляции нужна другая информация (например, размер выборки).

Предполагаем, что \( SE_r = 9.10 \) (ошибка коэффициента корреляции) и \( r = 0.457 \).

Формула для t-статистики корреляции:

\[ t = \frac{r}{SE_r} \]

Подставим значения:

\[ t = \frac{0.457}{9.10} \approx 0.0502 \]

3. Сравнение t-статистики с критическим значением:

• Рассчитанное значение \( t ≈ 0.0502 \)
• Критическое значение \( t_{кр} = 2.23 \)

Поскольку \( |0.0502| < 2.23 \), рассчитанное значение t-статистики меньше критического значения.

4. Вывод:

Мы не отвергаем нулевую гипотезу (H₀). Это означает, что на уровне значимости 0.05 нет достаточных статистических оснований утверждать, что существует значимая линейная связь между количеством пчелосемей и производством мёда в генеральной совокупности. Полученное значение коэффициента корреляции может быть результатом случайности.

Примечание: Если \( 9.10 \) — это средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии, то для проверки значимости корреляции нужно знать размер выборки (n). Формула для t-статистики в этом случае была бы: \( t = r \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}} \). Без \( n \) дальнейший расчет невозможен.