2. По восьми точкам постройте параллелепипед (он стоит на ребре AB). Точки: A(1, 0, 0); B(4, 0, 0); D(2, 1, 2); C(5, 1, 2); A₁(1, 2, 1); B₁(4, 2, 1); D₁(2, 3, 3); C₁(5, 3, 3). Постройте фигуру; найдите длины рёбер AB, AD, AA₁ и косинус угла между AB и AD. Найти длину вектора p=(5, 0, −2). Треугольник с вершинами A(2, 1), B(5, 4), C(6, 0). Найти периметр и площадь. Четырёхугольник A(1, 1), B(2, 4), C(5, 3), D(4, 0). Докажите, что диагонали AC и BD перпендикулярны.

Для параллелепипеда соединяем рёбра основания \(ABCD\) и соответствующие вершины верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\).

По формуле расстояния между точками в пространстве:

\(\overrightarrow{AB}=(4-1,0-0,0-0)=(3,0,0)\), поэтому \(|AB|=3\).

\(\overrightarrow{AD}=(2-1,1-0,2-0)=(1,1,2)\), поэтому \(|AD|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt6\).

\(\overrightarrow{AA_1}=(1-1,2-0,1-0)=(0,2,1)\), поэтому \(|AA_1|=\sqrt{0^2+2^2+1^2}=\sqrt5\).

Косинус угла между векторами равен их скалярному произведению, делённому на произведение длин:

\(\cos\angle BAD=\dfrac{(3,0,0)\cdot(1,1,2)}{3\sqrt6}=\dfrac{3}{3\sqrt6}=\dfrac{1}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{6}\).

Длина вектора \(\vec p=(5,0,-2)\): \(|\vec p|=\sqrt{5^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{29}\).

Для треугольника: \(AB=\sqrt{(5-2)^2+(4-1)^2}=3\sqrt2\), \(BC=\sqrt{(6-5)^2+(0-4)^2}=\sqrt{17}\), \(CA=\sqrt{(2-6)^2+(1-0)^2}=\sqrt{17}\). Следовательно, \(P=3\sqrt2+2\sqrt{17}\).

Площадь найдём по определителю векторов \(\overrightarrow{AB}=(3,3)\) и \(\overrightarrow{AC}=(4,-1)\): \(S=\dfrac12|3\cdot(-1)-3\cdot4|=\dfrac{15}{2}\).

Для диагоналей четырёхугольника: \(\overrightarrow{AC}=(5-1,3-1)=(4,2)\), \(\overrightarrow{BD}=(4-2,0-4)=(2,-4)\). Их скалярное произведение \(4\cdot2+2\cdot(-4)=0\). Значит, диагонали перпендикулярны.

Ответ: \(|AB|=3\), \(|AD|=\sqrt6\), \(|AA_1|=\sqrt5\), \(\cos\angle BAD=\dfrac{1}{\sqrt6}\); \(|\vec p|=\sqrt{29}\); для треугольника \(P=3\sqrt2+2\sqrt{17}\), \(S=\dfrac{15}{2}\); \(AC\perp BD\).