2. Покажите, как можно записать в виде обыкновенной дроби периодическую десятичную дробь: a) 0,(5); б) 0,(17); в) 0,4(6).

Решение:

а) \( 0,(5) \)

1. Пусть \( x = 0,(5) \).
2. Умножим обе части на 10 (так как период состоит из одной цифры): \( 10x = 5,(5) \).
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( 10x - x = 5,(5) - 0,(5) \) → \( 9x = 5 \) → \( x = \frac{5}{9} \).

б) \( 0,(17) \)

1. Пусть \( x = 0,(17) \).
2. Умножим обе части на 100 (так как период состоит из двух цифр): \( 100x = 17,(17) \).
3. Вычтем первое уравнение из второго: \( 100x - x = 17,(17) - 0,(17) \) → \( 99x = 17 \) → \( x = \frac{17}{99} \).

в) \( 0,4(6) \)

1. Пусть \( x = 0,4(6) \).
2. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от непериодической части: \( 10x = 4,(6) \).
3. Теперь умножим на 10, чтобы сдвинуть период: \( 100x = 46,(6) \).
4. Вычтем из второго уравнения первое: \( 100x - 10x = 46,(6) - 4,(6) \) → \( 90x = 42 \) → \( x = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \).

Ответ: а) \( \frac{5}{9} \); б) \( \frac{17}{99} \); в) \( \frac{7}{15} \).