2. Построить сечение куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a плоскостью, проходящей через точки M, N, K, являющиеся серединами рёбер, и найти его площадь.

По рисунку: M — середина ребра A₁D₁, N — середина ребра D₁C₁, K — середина ребра DD₁. Обозначим через P и Q точки пересечения секущей плоскости соответственно с рёбрами AB и BC.

В координатах возьмём A=(0,0,0), D=(a,0,0), B=(0,a,0), C=(a,a,0), а верхние вершины имеют координату z=a. Тогда M=(a/2,0,a), N=(a/2,a/2,a), K=(a,0,a/2). Плоскость через эти точки имеет уравнение x+y+z=3a/2. Отсюда P=(0,a/2,a), Q=(a/2,a,0).

Сечение — шестиугольник P–M–N–C₁–Q–K. Длины его сторон, в указанном порядке: a/2, a/2, a/√2, a/√2, a/√2, a/√2.

Площадь можно найти, разбив сечение на два треугольника и две трапеции, или вычислить по координатам вершин. Получаем:

\[S=\frac{5}{8}a^2.\]

Ответ: сечение — шестиугольник PMNC₁QK; его площадь равна \(\frac{5}{8}a^2\).