2. Постройте график функции и опишите её свойства: а) y = −3x + 1; б) y = 5 + 2x; в) y = −3/x; г) y = 1/(2x); д) y = −x²; е) y = −x³.

а) \(y=-3x+1\)

Это линейная функция. Для построения отметим точки: \((0;1)\), \((1;-2)\), \((-1;4)\). Соединим их прямой.

• Область определения: \(D(y)=\mathbb R\).
• Область значений: \(E(y)=\mathbb R\).
• Функция убывает на всей числовой прямой, так как угловой коэффициент \(-3<0\).
• Пересечение с осью \(Oy\): \((0;1)\).
• Нуль функции: \(-3x+1=0\), поэтому \(x=\frac13\).

б) \(y=2x+5\)

Точки для построения: \((0;5)\), \((1;7)\), \((-1;3)\). Соединяем их прямой.

• \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\).
• Функция возрастает на всей числовой прямой, так как \(2>0\).
• Пересечение с осью \(Oy\): \((0;5)\).
• Нуль функции: \(2x+5=0\), поэтому \(x=-\frac52\).

в) \(y=-\frac3x\)

Это гипербола. Удобные точки: \((1;-3)\), \((3;-1)\), \((-1;3)\), \((-3;1)\).

• \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\), \(E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
• Ветви расположены во II и IV координатных четвертях.
• Функция возрастает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+infty)\).
• Нулей и пересечений с координатными осями нет.

г) \(y=\frac1{2x}\)

Это гипербола. Удобные точки: \((1;\frac12)\), \((\frac12;1)\), \((-1;-\frac12)\), \((-\frac12;-1)\).

• \(D(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\), \(E(y)=\mathbb R\setminus\{0\}\).
• Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).
• Ветви расположены в I и III координатных четвертях.
• Функция убывает на промежутках \((-\infty;0)\) и \((0;+\u0000infty)\).
• Нулей и пересечений с координатными осями нет.

д) \(y=-x^2\)

Это парабола с вершиной \(O(0;0)\), ветви направлены вниз. Точки: \((-2;-4)\), \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-4)\).

• \(D(y)=\mathbb R\).
• \(E(y)=(-\infty;0]\).
• Функция возрастает на \((-\infty;0]\) и убывает на \([0;+\u0000infty)\).
• Ось симметрии: \(x=0\).
• Наибольшее значение: \(0\) при \(x=0\).
• Нуль функции: \(x=0\).

е) \(y=-x^3\)

Точки для построения: \((-2;8)\), \((-1;1)\), \((0;0)\), \((1;-1)\), \((2;-8)\). Получается кубическая кривая.

• \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=\mathbb R\).
• Функция строго убывает на всей числовой прямой.
• График симметричен относительно начала координат.
• Пересечение с координатными осями и нуль функции: \((0;0)\).

Ответ: графики строятся по указанным точкам; их свойства приведены для каждого подпункта.