2. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+8 & \text{при }x\ge-4,\\x+6 & \text{при }x<-4,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+8 & \text{при }x\ge-4,\\x+6 & \text{при }x<-4,\end{cases}$ и определите,…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+8 & \text{при }x\ge-4,\\x+6 & \text{при }x<-4,\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для квадратичной части выделим полный квадрат: $x^2+6x+8=(x+3)^2-1$. Её вершина $(-3,-1)$, а область определения этой части — $x\ge-4$. Прямая часть задана при $x<-4$; при приближении к $x=-4$ её значение стремится к 2, но точка $(-4,2)$ не входит в график.

При $m=-1$ горизонтальная прямая пересекает параболу в вершине и прямую часть один раз: всего две точки.

При $-1<m<0$ парабола даёт две точки, и прямая часть — ещё одну. При $m=0$ парабола пересекается в точках с абсциссами $-4$ и $-2$, а прямая часть также даёт одну точку: всего три.

При $0<m<2$ парабола даёт одну точку (второй корень лежал бы левее $-4$), а прямая часть — одну; всего две. При остальных значениях ровно двух пересечений нет.

Ответ: $m=-1$ или $0<m<2$.