2. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+8,&x\ge-4,\\x+6,&x<-4\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+8,&x\ge-4,\\x+6,&x<-4\end{cases}$ и определите, при каких значениях…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\begin{cases}x^2+6x+8,&x\ge-4,\\x+6,&x<-4\end{cases}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Для квадратичной части выделим полный квадрат: $x^2+6x+8=(x+3)^2-1$. Это часть параболы с вершиной $(-3,-1)$, заданная при $x\ge-4$. В точке $x=-4$ она принимает значение $0$. Линейная часть задана только при $x<-4$, поэтому точка $(-4,2)$ на график не входит.

На рисунке показано окно $-10\le x\le5$; график продолжается дальше по заданным формулам. Считаем пересечения горизонтальной прямой $y=m$ с каждой частью.

Для линейной части $x+6=m$, откуда $x=m-6$. Условие $x<-4$ равносильно $m<2$, поэтому при $m<2$ эта часть даёт одно пересечение, а при $m\ge2$ — ни одного.

Для параболы $(x+3)^2-1=m$. Её вершина даёт одно пересечение при $m=-1$; при $-10$ — одно. При $m<-1$ пересечений с параболой нет.

При $m=-1$: одно пересечение с прямой и одно с параболой — всего два.
При \(0
При $m<-1$ всего одно; при \(-1

Ответ: $m=-1$ или $0<m<2$.

2. Постройте график функции \(y=\begin{cases}x^2+6x+8,&x\ge-4,\\x+6,&x<-4\end{cases}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: