2. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$.

При $x\ne-1,-4$ сокращаем общие множители. Поэтому график задан формулой $y=(x+3)(x-2)=x^2+x-6$, но точки с абсциссами $-1$ и $-4$ из исходной области определения исключены.

В параболе $y=x^2+x-6$ при $x=-1$ значение равно $-6$, а при $x=-4$ — также $-6$. Следовательно, график — эта парабола с двумя выколотыми точками $(-1,-6)$ и $(-4,-6)$.

Рассмотрим пересечения с горизонтальной прямой $y=m$. Уравнение пересечения: $x^2+x-6=m$, или $x^2+x-(6+m)=0$. Его дискриминант $D=25+4m$.

Если $m<-\dfrac{25}{4}$, действительных пересечений нет; если $m=-\dfrac{25}{4}$, есть ровно одна точка касания. При $m>-\dfrac{25}{4}$ обычно две точки, кроме случаев, когда одна из них выколота. Выколотые точки имеют ординату $-6$, а при $m=-6$ уравнение даёт корни $-4\,$ и $3$; корень $-4$ исключён, остаётся одна общая точка.

Ответ: $m=-\dfrac{25}{4}$ или $m=-6$.

2. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: