2. Постройте график функции $y=\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим квадратный трёхчлен на множители и учтём ограничение знаменателя:

\[y=\frac{(x-2)(x-1)(x-4)}{x-4}=(x-2)(x-1)=x^2-3x+2,\qquad x\ne4.\]

Это парабола, из которой удалена точка $(4;6)$. Её вершина имеет координаты $(\frac32; -\frac14)$, поэтому прямая $y=m$ касается параболы при $m=-\frac14$ и имеет с графиком ровно одну общую точку.

Также при $m=6$ уравнение $x^2-3x+2=6$ даёт $(x-4)(x+1)=0$. Корень $x=4$ исключён из области определения, остаётся только $x=-1$, то есть также ровно одна общая точка.

Ответ: $m=-\frac14$ или $m=6$.

2. Постройте график функции \(y=\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-4}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: