2. Постройте график функции $y=x^2+2x-3$. а) Найдите по графику функции промежутки, в которых $y>0$ и $y<0$. б) Не выполняя дополнительных построений, найдите координаты точек пересечения данного графика с графиками функций $y=x^2-2x-3$, $y=7x+63$, $y=3x+47$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Постройте график функции $y=x^2+2x-3$. а) Найдите по графику функции промежутки, в которых $y>0$ и $y<0$. б) Не…$ Фото задания

2. Постройте график функции $y=x^2+2x-3$. а) Найдите по графику функции промежутки, в которых $y>0$ и $y<0$. б) Не выполняя дополнительных построений, найдите координаты точек пересечения данного графика с графиками функций $y=x^2-2x-3$, $y=7x+63$, $y=3x+47$.

Accepted Answer

Преобразуем функцию, чтобы определить вершину параболы: $y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$. Значит, вершина — $(-1,-4)$, ось симметрии — $x=-1$, ветви направлены вверх.

Нули функции: $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)=0$, поэтому график пересекает ось $x$ в точках $(-3,0)$ и $(1,0)$.

а) Парабола направлена вверх и имеет корни −3 и 1, поэтому она выше оси $x$ вне промежутка между корнями и ниже оси между ними.

$y>0$ при $x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$; $y<0$ при $x\in(-3,1)$.

б) Точки пересечения находим приравниванием значений функций.

С $y=x^2-2x-3$: $x^2+2x-3=x^2-2x-3$, откуда $4x=0$, $x=0$, а $y=-3$. Точка: $(0,-3)$.
С $y=7x+63$: $x^2+2x-3=7x+63$, то есть $x^2-5x-66=0=(x-11)(x+6)$. При $x=11$, $y=140$; при $x=-6$, $y=21$. Точки: $(11,140)$ и $(-6,21)$.
С $y=3x+47$: $x^2+2x-3=3x+47$, то есть $x^2-x-50=0$. Отсюда $x=\frac{1\pm\sqrt{201}}{2}$. Подстановка в $y=3x+47$ даёт $y=\frac{97\pm3\sqrt{201}}{2}$, с тем же знаком.
Точки: $\left(\frac{1+\sqrt{201}}{2},\frac{97+3\sqrt{201}}{2}\right)$ и $\left(\frac{1-\sqrt{201}}{2},\frac{97-3\sqrt{201}}{2}\right)$.

Ответ: а) $y>0$ при $x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)$, $y<0$ при $x\in(-3,1)$; б) точки пересечения: $(0,-3)$, $(11,140)$, $(-6,21)$ и $\left(\frac{1\pm\sqrt{201}}{2},\frac{97\pm3\sqrt{201}}{2}\right)$.