№ 2. Постройте график функции \(y=x^2-6x+4\). Найдите по графику: а) нули функции; промежутки, в которых \(y<0\), \(y>0\); б) промежутки убывания и возрастания функции, наименьшее её значение.

Приведём функцию к виду, удобному для построения: \(y=x^2-6x+4=(x-3)^2-5\). Вершина параболы — \((3;-5)\), ветви направлены вверх.

Нули найдём из уравнения \((x-3)^2-5=0\): \((x-3)^2=5\), поэтому \(x_1=3-\sqrt5\), \(x_2=3+\sqrt5\) (приблизительно \(0.764\) и \(5.236\)). Так как парабола направлена вверх, функция отрицательна между корнями и положительна вне промежутка между ними.

Вершина имеет абсциссу 3: слева от неё парабола убывает, справа возрастает. Наименьшее значение функции равно ординате вершины, то есть \(-5\).

Ответ: а) нули: \(3-\sqrt5\) и \(3+\sqrt5\); \(y<0\) при \(x\in(3-\sqrt5;3+\sqrt5)\), \(y>0\) при \(x\in(-\infty;3-\sqrt5)\cup(3+\sqrt5;+\infty)\). б) убывает на \((-;3)\), возрастает на \((3;+)\); наименьшее значение \(-5\).