2. Постройте график функции y = x² + 2x − 3. а) Найдите по графику функции промежутки, в которых y > 0 и y < 0. б) Не выполняя дополнительных построений, найдите координаты точек пересечения данного графика с графиком функции y = 7x + 63. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. а) Найдите по графику функции промежутки, в которых y > 0 и y < 0. б) Не выполняя дополнительных построений, найдите координаты точек пересечения данного графика с графиком функции y = 3x + 17.

Первый вариант: y = x² + 2x − 3.

Парабола направлена ветвями вверх. Разложим выражение на множители: y = (x + 3)(x − 1), поэтому нули функции — x = −3 и x = 1. Между нулями парабола расположена ниже оси x, а вне этого промежутка — выше.

а) y > 0 при x ∈ (−∞; −3) ∪ (1; +∞); y < 0 при x ∈ (−3; 1).

б) В точках пересечения значения функций равны:

x² + 2x − 3 = 7x + 63,

x² − 5x − 66 = 0,

(x − 11)(x + 6) = 0.

Отсюда x = 11 или x = −6. Подставляем в y = 7x + 63: получаем соответственно y = 140 и y = 21. Точки пересечения: (11; 140) и (−6; 21).

Второй вариант: y = x² − 2x − 3.

Парабола направлена ветвями вверх. Разложим выражение на множители: y = (x + 1)(x − 3), поэтому нули функции — x = −1 и x = 3. Между нулями парабола ниже оси x, вне этого промежутка — выше.

а) y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞); y < 0 при x ∈ (−1; 3).

б) Приравниваем функции:

x² − 2x − 3 = 3x + 17,

x² − 5x − 20 = 0.

По формуле корней x = (5 ± √105)/2. Подставляем в y = 3x + 17: y = (49 ± 3√105)/2. Точки пересечения: ((5 − √105)/2; (49 − 3√105)/2) и ((5 + √105)/2; (49 + 3√105)/2).

На схемах показаны формы графиков и точки пересечения; координаты пересечений второго варианта найдены точно вычислением.