2. Постройте график функции y = x² − 2x − 3. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = 2; б) значение x, при которых y = −1; в) промежутки, в которых y [знаки неразборчивы], промежутки, в которых [условие обрезано]; г) промежуток, в котором функция возрастает.

Преобразуем выражение, чтобы определить вершину параболы: y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4. Вершина — (1; −4), ветви направлены вверх.

а) При x = 2: y = 2² − 2 · 2 − 3 = −3.

б) При y = −1: x² − 2x − 3 = −1, откуда x² − 2x − 2 = 0. Тогда x = 1 ± √3, то есть примерно x ≈ −0.73 и x ≈ 2.73.

в) В изображении знаки и часть формулировки этого подпункта неразборчивы. Если требуются промежутки, где y > 0 и где y < 0, то нули функции: x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) = 0, то есть x = −1 и x = 3. Поскольку ветви параболы направлены вверх, y > 0 при x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞), а y < 0 при x ∈ (−1; 3). Чтобы точно выполнить подпункт, пришлите его формулировку целиком.

г) Координата вершины по x равна 1. Парабола с ветвями вверх возрастает справа от вершины, следовательно, функция возрастает при x ∈ [1; +∞).

Ответ: а) −3; б) x = 1 − √3 и x = 1 + √3; г) функция возрастает при x ∈ [1; +∞). Для в): если требуются знаки y > 0 и y < 0, интервалы соответственно (−∞; −1) ∪ (3; +∞) и (−1; 3).