2. Постройте график функции y = −x² + 2x + 8 и найдите, используя график: а) значение функции при x = 2,5; −0,5; −3; б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; −2; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Преобразуем функцию, чтобы определить основные элементы графика:

\(y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9\). Это парабола с ветвями вниз, вершиной \((1;9)\) и осью симметрии \(x=1\).

а) Подставим заданные значения аргумента:

• При \(x=2.5\): \(y=-(2.5)^2+2\cdot2.5+8=6.75\).
• При \(x=-0.5\): \(y=-(-0.5)^2+2\cdot(-0.5)+8=6.75\).
• При \(x=-3\): \(y=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-7\).

б) Решим уравнение \(-(x-1)^2+9=y\) для каждого значения:

• Если \(y=6\), то \((x-1)^2=3\), поэтому \(x=1\pm\sqrt3\).
• Если \(y=0\), то \((x-1)^2=9\), поэтому \(x=-2\) или \(x=4\).
• Если \(y=-2\), то \((x-1)^2=11\), поэтому \(x=1\pm\sqrt{11}\).

в) Нули функции находятся из уравнения \(-(x-1)^2+9=0\): это \(x=-2\) и \(x=4\). Парабола выше оси \(x\) между нулями и ниже неё вне этого промежутка.

г) До вершины функция возрастает, после вершины убывает. Наибольшее значение равно 9.

Для графика показаны парабола, вершина и нули функции.

Ответ: а) 6,75; 6,75; −7. б) При y = 6: x = 1 ± √3; при y = 0: x = −2, 4; при y = −2: x = 1 ± √11. в) Нули: −2 и 4; функция положительна на (−2; 4), отрицательна на (−∞; −2) и (4; +∞). г) Возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞); область значений: (−∞; 9].