2. Постройте график функции y = {x²+4x+5 при x≥-5, -20/x при x<-5. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика функции y = {x²+4x+5 при x≥-5, -20/x при x<-5

Пошаговое решение:

1. Часть 1: y = x²+4x+5 при x≥-5
   Это парабола. Вершина: x₀ = -b/(2a) = -4/(2*1) = -2.
   y₀ = (-2)² + 4*(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1.
   Вершина параболы находится в точке (-2, 1).
   Значение функции при x=-5: y = (-5)² + 4*(-5) + 5 = 25 - 20 + 5 = 10.
   Эта часть графика — часть параболы с вершиной в (-2, 1), начинающаяся с точки (-5, 10) и идущая вверх.
2. Часть 2: y = -20/x при x<-5
   Это гипербола.
   Найдем значение y при x, приближающемся к -5 слева: y = -20/(-5) = 4.
   Эта часть графика — ветвь гиперболы, которая при x=-5 стремится к значению y=4. Так как x<-5, то значения x будут более отрицательными, например x=-10, y = -20/(-10) = 2. Следовательно, график идет вниз при удалении от -5 влево.
3. Определение значений m для одной точки пересечения
   Прямая y=m — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно одну точку пересечения с графиком:
   — Если m=1 (значение вершины параболы), она пересекает график в одной точке (-2, 1).
   — Если m=4 (значение у гиперболы при x=-5), она пересекает график в одной точке.
   — Если m > 10 (значение y параболы при x=-5), она пересекает только одну ветвь параболы.
   — Если 1 < m < 4, она пересекает гиперболу дважды и параболу один раз.
   — Если 4 < m < 10, она пересекает параболу дважды и гиперболу один раз.
   — Если m < 1, она пересекает только гиперболу.

Ответ: Прямая y=m имеет с графиком ровно одну общую точку при m = 1, m = 4, или m > 10.