2. Постройте график функции y = −x² + 6x − 5; y = 2x² − 8x + 6. Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0, y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Рассмотрим каждую функцию отдельно.

1) \(y=-x^2+6x-5\). Приведём квадратный трёхчлен к виду, удобному для построения: \(y=-(x-3)^2+4\). Значит, вершина параболы — \((3;4)\), ветви направлены вниз, ось симметрии — \(x=3\).

1. Пересечение с осью \(Ox\): приравниваем \(y\) к нулю: \(-(x-1)(x-5)=0\), поэтому точки — \((1;0)\) и \((5;0)\). Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\), \(y=-5\), то есть \((0;-5)\).
2. Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\). Поскольку парабола направлена вниз, \(y>0\) при \(x\in(1;5)\), а \(y<0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(5;+\infty)\).
3. До вершины функция возрастает, после вершины убывает: возрастает на \((-infty;3)\), убывает на \((3;+infty)\).
4. Наибольшее значение равно \(4\) при \(x=3\). Наименьшего значения нет: функция не ограничена снизу.

График построен по формуле и отмеченным ключевым точкам.

2) \(y=2x^2-8x+6\). Приведём выражение к виду \(y=2(x-2)^2-2\). Вершина параболы — \((2;-2)\), ветви направлены вверх, ось симметрии — \(x=2\).

1. Пересечение с осью \(Ox\): \(2(x-1)(x-3)=0\), поэтому точки — \((1;0)\) и \((3;0)\). Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\), \(y=6\), то есть \((0;6)\).
2. Нули функции: \(x=1\) и \(x=3\). Поскольку парабола направлена вверх, \(y>0\) при \(x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)\), а \(y<0\) при \(x\in(1;3)\).
3. До вершины функция убывает, после вершины возрастает: убывает на \((-infty;2)\), возрастает на \((2;+infty)\).
4. Наименьшее значение равно \(-2\) при \(x=2\). Наибольшего значения нет: функция не ограничена сверху.

График построен по формуле и отмеченным ключевым точкам.