№2. Постройте график функции y = −x² − 7x + 8. И определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Выделим полный квадрат:

\(y=-\left(x+\frac{7}{2}\right)^2+\frac{81}{4}\).

Это парабола с ветвями вниз, вершина — точка \(\left(-\frac{7}{2},\frac{81}{4}\right)\), где функция принимает наибольшее значение. Горизонтальная прямая пересекает график в двух точках, если её уровень ниже вершины.

На уровне вершины прямая имеет с параболой одну общую точку, а выше вершины не пересекает её. Поэтому для двух точек пересечения необходимо, чтобы \(m<\frac{81}{4}\).

Ответ: \(m<\frac{81}{4}\).