2. Постройте график функции y = x² − 8x + 13. Найдите с помощью графика: решите уравнение; а) значение y при x = 1,5; б) значения x, при которых y = 2; в) нули функции; г) постройте график функции, используя шаблон параболы y = x²; в) найдите промежутки, при которых функция возрастает и убывает.

Приведём функцию к виду, показывающему сдвиг параболы:

\(y=x^2-8x+13=(x-4)^2-3\).

Значит, график получается из параболы \(y=x^2\) сдвигом на 4 единицы вправо и на 3 единицы вниз. Вершина — \((4;-3)\), ось симметрии — \(x=4\), ветви направлены вверх.

а) Подставим \(x=1.5\):

\(y=1.5^2-8\cdot1.5+13=2.25-12+13=3.25\).

б) Найдём пересечения графика с прямой \(y=2\):

\((x-4)^2-3=2\), поэтому \((x-4)^2=5\), откуда \(x=4\pm\sqrt{5}\).

в) Нули функции — точки пересечения с осью \(x\):

\((x-4)^2-3=0\), поэтому \((x-4)^2=3\), откуда \(x=4\pm\sqrt{3}\).

г) Для построения используем вершину и симметричные точки: \((4;-3)\), \((3;-2)\), \((5;-2)\), \((2;1)\), \((6;1)\), \((0;13)\), \((8;13)\).

По графику функция убывает до вершины, а после неё возрастает.

Ответ: а) \(y=3.25\); б) \(x=4-\sqrt{5}\) и \(x=4+\sqrt{5}\); в) нули \(x=4-\sqrt{3}\) и \(x=4+\sqrt{3}\); убывает на \((-;4)\), возрастает на \((4;+)\).