2. Постройте графики функций: а) y = −x² + 6x − 5; б) y = 2x² − 8x + 6. Найдите по графику: а) точки пересечения графика с осями координат; б) нули функции, промежутки, в которых y > 0 и y < 0; в) промежутки возрастания и убывания функции; г) наименьшее и наибольшее значения функции.

Обозначим функции: f(x) = −x² + 6x − 5 и g(x) = 2x² − 8x + 6.

Для построения приведём их к виду с выделенным квадратом: f(x) = −(x − 3)² + 4, g(x) = 2(x − 2)² − 2. Поэтому вершины парабол — (3; 4) и (2; −2), соответственно.

а) Точки пересечения с осями координат.

Для f: с осью Ox — (1; 0), (5; 0), с осью Oy — (0; −5).

Для g: с осью Ox — (1; 0), (3; 0), с осью Oy — (0; 6).

б) Нули и знаки функций.

Нули f находятся из −(x − 1)(x − 5) = 0: x = 1 и x = 5. Парабола направлена ветвями вниз, значит, f(x) > 0 при x ∈ (1; 5), а f(x) < 0 при x ∈ (−∞; 1) ∪ (5; +∞).

Нули g находятся из 2(x − 1)(x − 3) = 0: x = 1 и x = 3. Парабола направлена ветвями вверх, значит, g(x) > 0 при x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞), а g(x) < 0 при x ∈ (1; 3).

в) Возрастание и убывание.

f возрастает на (−∞; 3] и убывает на [3; +∞). g убывает на (−∞; 2] и возрастает на [2; +∞).

г) Наибольшее и наименьшее значения.

f имеет наибольшее значение 4 при x = 3; наименьшего значения нет. g имеет наименьшее значение −2 при x = 2; наибольшего значения нет.