2. Постройте при помощи циркуля и линейки прямоугольный треугольник по высоте h_c и медиане m_c.

Пусть требуется построить прямоугольный треугольник ABC, в котором высота CD = h_c, проведённая к гипотенузе AB, и медиана CM = m_c, проведённая к гипотенузе.

1. Проведём произвольную прямую AB.
2. На ней выберем точку D и восстановим к прямой AB перпендикуляр.
3. На перпендикуляре отложим отрезок CD = h_c.
4. Построим середину M отрезка AB серединным перпендикуляром.
5. Так как треугольник прямоугольный, середина гипотенузы равноудалена от всех вершин. Поэтому вершина C должна лежать на окружности с центром M и радиусом MA.
6. Проведём окружность с центром M радиуса MA. Вторую точку её пересечения с перпендикуляром через D обозначим через C.
7. Соединим C с A и B.

Чтобы длина медианы была равна заданной, отложим на перпендикуляре необходимое положение точки D: поскольку в прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе и медиана связаны соотношением \(m_c^2=h_c^2+\left|AD-DB\right|^2/4\), положение точки D выбирается построением прямоугольного треугольника с катетами \(h_c\) и \(\sqrt{m_c^2-h_c^2}\), после чего его половина задаёт разность \(AD-DB\).

Построение возможно при условии \(m_c>h_c\).

Ответ: построен прямоугольный треугольник ABC с высотой h_c и медианой m_c, проведёнными к гипотенузе AB.