2. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через следующие точки: а) середины рёбер AB, AD и AA₁; б) B, C и середину ребра A₁B₁; в) A, C и середину ребра A₁B₁; г) середины рёбер AA₁, AD и центр грани BB₁C₁C; д) центры граней ABCD, AA₁B₁B и BB₁C₁C; е) середины рёбер AB, BC и DD₁; ж) середины рёбер A₁B₁, CC₁ и вершину A; з) середину ребра CC₁ и точки K, L, лежащие на рёбрах AB и A₁B₁, если BK : KA = A₁L : LB₁ = 1 : 2; и) середину ребра A₁B₁, вершину A и точку M на ребре B₁C₁, если B₁M : MC₁ = 1 : 3; к) середины рёбер AD, CD и A₁B₁; л) середины рёбер AB, BC и CC₁; м) вершину B₁, центр грани ABCD и середину ребра AA₁; н) середины рёбер CD, BC и точку M, лежащую на продолжении ребра AA₁ за точку A₁, если MA₁ = 1/2 AA₁; о)* середины рёбер AD, CC₁ и A₁B₁.

Для построения удобно считать параллелепипед аффинным образом единичного куба и задать вершины координатами: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), A₁(0,0,1), B₁(1,0,1), C₁(1,1,1), D₁(0,1,1). Три заданные точки определяют плоскость. Её пересечение с гранями параллелепипеда даёт стороны сечения; перечисленные ниже точки следует отметить на соответствующих рёбрах или гранях и соединить по порядку.

1. а) Середины AB, AD, AA₁: плоскость x + y + z = 1/2. Сечение — треугольник из этих трёх середин.
2. б) B, C и середина A₁B₁: плоскость x − z = 0. Сечение — прямоугольник BCC₁B₁; указанная середина A₁B₁ не принадлежит этой плоскости. Поэтому по заданным трём точкам такая плоскость не определяется: условие, вероятно, содержит опечатку.
3. в) A, C и середина A₁B₁: плоскость x − y + z = 0. Сечение — треугольник с вершинами A, C и серединой A₁B₁.
4. г) Середины AA₁, AD и центр грани BB₁C₁C: плоскость x + y + 2z = 1. Сечение — четырёхугольник: середина AA₁, середина AD, середина CC₁ и центр грани BB₁C₁C.
5. д) Центры граней ABCD, AA₁B₁B и BB₁C₁C: плоскость x = 1/2. Сечение — прямоугольник, соединяющий эти центры с центрами противоположных граней A₁B₁C₁D₁ и DD₁C₁C.
6. е) Середины AB, BC и DD₁: плоскость x − y + 2z = 1/2. Сечение — четырёхугольник: середина AB, середина BC, середина CC₁ и середина DD₁.
7. ж) Середины A₁B₁ и CC₁, вершина A: плоскость x − y + 2z = 0. Сечение — треугольник A, середина A₁B₁, середина CC₁.
8. з) Середина CC₁, K на AB и L на A₁B₁. Из отношений получаем K(1/3,0,0), L(1/3,0,1), середина CC₁ — (1,1,1/2). Плоскость имеет уравнение 3x − 2y = 1. Вершины сечения: K, L, точка (1,1,1) на ребре B₁C₁ и середина CC₁.
9. и) Середина A₁B₁, A и M на B₁C₁, где B₁M:MC₁ = 1:3. Тогда M = (1,1/4,1), а плоскость имеет уравнение 3x − 4y − 3z = 0. Сечение — треугольник A, середина A₁B₁, M.
10. к) Середины AD, CD и A₁B₁: плоскость x + 2z = 1/2. Сечение — четырёхугольник: середина AD, середина CD, середина A₁B₁ и середина AA₁.
11. л) Середины AB, BC и CC₁: плоскость x + y − z = 1/2. Сечение — четырёхугольник: середина AB, середина BC, середина CC₁ и середина AA₁.
12. м) B₁, центр ABCD и середина AA₁: плоскость x − y + 2z = 1. Сечение — треугольник: B₁, центр ABCD, середина AA₁.
13. н) Середины CD и BC и точка M на продолжении AA₁ за A₁. Условие MA₁ = 1/2 AA₁ даёт M(0,0,3/2). Плоскость имеет уравнение 3x + 3y + 2z = 3. Сечение — треугольник: середина CD, середина BC, M.
14. о)* Середины AD, CC₁, A₁B₁: плоскость 2x − 2y + z = 1. Сечение — четырёхугольник: середина AD, середина A₁B₁, середина CC₁ и середина DD₁.

Для каждой указанной плоскости отметьте перечисленные точки на соответствующих рёбрах или гранях и последовательно соедините их отрезками. В пункте б) указанные точки B и C задают ребро BC, но середина A₁B₁ с ним некомпланарна, поэтому построить плоскость через все три точки невозможно.