2. Правда ли, что любую сумму, начиная с 8 копеек, можно уплатить только монетами в 3 и 5 копеек?

Решение:

Данная задача относится к задачам нахождения суммы с помощью двух типов монет. Нам нужно определить, можно ли получить любую сумму, начиная с 8 копеек, используя монеты достоинством 3 и 5 копеек.

Проверим первые несколько сумм, начиная с 8:

• 8 копеек: \( 8 = 3 + 5 \) (Можно)
• 9 копеек: \( 9 = 3 + 3 + 3 \) (Можно)
• 10 копеек: \( 10 = 5 + 5 \) (Можно)
• 11 копеек: \( 11 = 3 + 3 + 5 \) (Можно)
• 12 копеек: \( 12 = 3 + 3 + 3 + 3 \) (Можно)
• 13 копеек: \( 13 = 3 + 5 + 5 \) (Можно)
• 14 копеек: \( 14 = 3 + 3 + 3 + 5 \) (Можно)
• 15 копеек: \( 15 = 5 + 5 + 5 \) или \( 15 = 3+3+3+3+3 \) (Можно)

Теорема о двух монетах (фробениус): Для двух взаимно простых натуральных чисел \( a \) и \( b \), наибольшая сумма, которую нельзя составить, равна \( ab - a - b \). Все бóльшие суммы можно составить.

В нашем случае \( a = 3 \) и \( b = 5 \). Эти числа взаимно просты.

Наибольшая сумма, которую нельзя составить, равна:

\[ 3 5 - 3 - 5 = 15 - 8 = 7 \]

Это означает, что любую сумму, бóльшую 7 копеек (то есть начиная с 8 копеек), можно составить из монет достоинством 3 и 5 копеек.

Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Да, правда.