2. Представить в виде степени с рациональным показателем $a^{m/n}$: 1) $\sqrt[5]{a^4}\cdot\sqrt[10]{a^7}=$; 2) $\sqrt[8]{a^7}:\sqrt[4]{a^{-3}}=$; 3) $(\sqrt[4]{a^3})^8=$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Представить в виде степени с рациональным показателем $a^{m/n}$: 1) $\sqrt[5]{a^4}\cdot\sqrt[10]{a^7}=$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Переходим от корней к степеням и складываем показатели: $\sqrt[5]{a^4}\cdot\sqrt[10]{a^7}=a^{\frac{4}{5}}\cdot a^{\frac{7}{10}}=a^{\frac{8}{10}+\frac{7}{10}}=a^{\frac{3}{2}}$. Для действительных значений выражение определено при $a\geq0$.
При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: $\sqrt[8]{a^7}:\sqrt[4]{a^{-3}}=a^{\frac{7}{8}}:a^{-\frac{3}{4}}=a^{\frac{7}{8}-(-\frac{6}{8})}=a^{\frac{13}{8}}$. Здесь $a>0$, поскольку под корнем стоит отрицательная степень.
Умножаем показатели: $(\sqrt[4]{a^3})^8=(a^{\frac{3}{4}})^8=a^6$. Для действительных значений исходное выражение определено при $a\geq0$.

Ответ: 1) $a^{\frac{3}{2}}$; 2) $a^{\frac{13}{8}}$; 3) $a^6$.

2. Представить в виде степени с рациональным показателем \(a^{m/n}\): 1) \(\sqrt[5]{a^4}\cdot\sqrt[10]{a^7}=\); 2) \(\sqrt[8]{a^7}:\sqrt[4]{a^{-3}}=\); 3) \((\sqrt[4]{a^3})^8=\).