2. Преобразуйте в дробь: а) $\dfrac{ab}{ab-1}-\dfrac{1+ab}{ab}$; б) $\dfrac{1}{x^2-4x+4}+\dfrac{1}{2x-x^2}$; в) $\dfrac{4b^2+9}{2b+3}-2b-3$; г) $\dfrac{a+1}{a^2+a+1}+\dfrac{a+2}{a^3-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Преобразуйте в дробь: а) $\dfrac{ab}{ab-1}-\dfrac{1+ab}{ab}$; б) $\dfrac{1}{x^2-4x+4}+\dfrac{1}{2x-x^2}$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём к общему знаменателю $ab(ab-1)$:
$\dfrac{ab}{ab-1}-\dfrac{1+ab}{ab}=\dfrac{a^2b^2-(1+ab)(ab-1)}{ab(ab-1)}$.
Поскольку $(1+ab)(ab-1)=a^2b^2-1$, числитель равен $1$. Условия: $ab\ne0$, $ab\ne1$.
Разложим знаменатели: $x^2-4x+4=(x-2)^2$, $2x-x^2=-x(x-2)$.
Приведём к общему знаменателю $x(x-2)^2$: $\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{x(x-2)}=\dfrac{x-(x-2)}{x(x-2)^2}=\dfrac{2}{x(x-2)^2}$.
Условия: $x\ne0$, $x\ne2$.
Представим целое выражение дробью с тем же знаменателем:
$\dfrac{4b^2+9}{2b+3}-2b-3=\dfrac{4b^2+9-(2b+3)^2}{2b+3}$.
Раскроем скобки и упростим числитель: $4b^2+9-(4b^2+12b+9)=-12b$. Получаем $-\dfrac{12b}{2b+3}$, где $b\ne-\dfrac32$.
Разложим разность кубов: $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$. Тогда
$\dfrac{a+1}{a^2+a+1}+\dfrac{a+2}{a^3-1}=\dfrac{(a+1)(a-1)+(a+2)}{(a-1)(a^2+a+1)}$.
Числитель равен $a^2-1+a+2=a^2+a+1$. Сокращаем общий множитель: $\dfrac{1}{a-1}$, где $a\ne1$.

Ответ: а) $\dfrac{1}{ab(ab-1)}$; б) $\dfrac{2}{x(x-2)^2}$; в) $-\dfrac{12b}{2b+3}$; г) $\dfrac{1}{a-1}$.

2. Преобразуйте в дробь: а) \(\dfrac{ab}{ab-1}-\dfrac{1+ab}{ab}\); б) \(\dfrac{1}{x^2-4x+4}+\dfrac{1}{2x-x^2}\); в) \(\dfrac{4b^2+9}{2b+3}-2b-3\); г) \(\dfrac{a+1}{a^2+a+1}+\dfrac{a+2}{a^3-1}\).