2. Prove that: $$\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} = \tan^2 \frac{\alpha}{2}$$

Доказательство:

1. Начнём с левой части равенства: \( \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} \).
2. Воспользуемся формулами половинного угла: \( 1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} \) и \( 1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} \).
3. Подставим эти формулы в исходное выражение: \[ \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}} \]
4. Сократим двойки: \[ \frac{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} \]
5. Вспомним определение тангенса: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \). Следовательно, \( \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \).
6. Получаем: \[ \tan^2 \frac{\alpha}{2} \]
7. Таким образом, левая часть равна правой части.

Доказано.