№ 2. Проверить совместность системы и решить методом Гаусса. Вариант 1: x₁+2x₂+2x₄=0; −x₁+3x₂+x₃+2x₄=5; 2x₁+3x₂−x₃+3x₄=4. Вариант 2: x₁+2x₂−x₃+8x₄=9; 2x₁−3x₂+4x₄=2; −x₁+2x₂+x₃+2x₄=−1. Вариант 3: −2x₂+3x₃+14x₄=1; x₁−x₂+2x₃+x₄=6; −3x₂+x₃=−9.

Во всех трёх вариантах три уравнения с четырьмя неизвестными. Приведение методом Гаусса оставляет одну свободную переменную; ниже обозначим её через \(t\). Каждая система совместна и имеет бесконечно много решений.

Вариант 1. Сложим второе и третье уравнения: \(x_1+6x_2=9-5x_4\). Первое уравнение даёт \(x_1=-2x_2-2x_4\). Отсюда \(4x_2=9-3x_4\). Положим \(x_4=t\). Тогда \(x_2=\frac94-\frac34t\), \(x_1=-\frac92-\frac12t\). Из второго уравнения \(x_3=-\frac{25}{4}-\frac14t\).

Общее решение: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(-\frac92-\frac12t,\frac94-\frac34t,-\frac{25}{4}-\frac14t,t)\), где \(t\in\mathbb R\).

Вариант 2. Сложение первого и третьего уравнений устраняет \(x_1\) и \(x_3\): \(4x_2=8-10x_4\). Положим \(x_4=t\). Тогда \(x_2=2-\frac52t\). Из второго уравнения \(x_1=4-\frac{23}{4}t\), а из первого \(x_3=-1-\frac14t\).

Общее решение: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(4-\frac{23}{4}t,2-\frac52t,-1-\frac14t,t)\), где \(t\in\mathbb R\).

Вариант 3. Из третьего уравнения \(x_3=3x_2-9\). Подстановка в первое даёт \(7x_2+14x_4=28\), то есть \(x_2=4-2x_4\). Положим \(x_4=t\). Тогда \(x_3=3-6t\), а из второго уравнения \(x_1=4+9t\).

Общее решение: \((x_1,x_2,x_3,x_4)=(4+9t,4-2t,3-6t,t)\), где \(t\in\mathbb R\).

Ответ: все три системы совместны и имеют бесконечно много решений; их общие решения приведены выше.