2. Прямая а перпендикулярна отрезку АВ и проходит через его середину К. Точка М принадлежит прямой а, ∠ AMB = 84°. Найдите ∠ BMK.

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

Что нам известно?

• Прямая а перпендикулярна отрезку АВ.
• Прямая а проходит через середину отрезка АВ, обозначим эту середину как К.
• Точка М лежит на прямой а.
• Угол AMB равен 84° (∠ AMB = 84°).

Что нужно найти?

• Величину угла BMK (∠ BMK).

Решение:

1. Свойства серединного перпендикуляра: Поскольку прямая а перпендикулярна АВ и проходит через его середину К, она является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
2. Равноудаленность точек: Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка. Следовательно, МА = МВ.
3. Треугольник AMB: Треугольник AMB является равнобедренным, так как МА = МВ.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠ MAB = ∠ MBA.
5. Сумма углов в треугольнике: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. В треугольнике AMB: ∠ AMB + ∠ MAB + ∠ MBA = 180°.
6. Находим углы при основании: Подставим известные значения: 84° + ∠ MAB + ∠ MBA = 180°. Тогда ∠ MAB + ∠ MBA = 180° - 84° = 96°. Поскольку ∠ MAB = ∠ MBA, то ∠ MAB = ∠ MBA = 96° / 2 = 48°.
7. Рассматриваем треугольник KMB: Теперь рассмотрим треугольник KMB. Мы знаем, что прямая а (на которой лежит точка М) перпендикулярна АВ. Это означает, что угол MKB равен 90° (∠ MKB = 90°).
8. Находим ∠ BMK: В треугольнике KMB сумма углов равна 180°: ∠ MKB + ∠ MBK + ∠ BMK = 180°. Мы знаем, что ∠ MKB = 90° и ∠ MBK (то же самое, что и ∠ MBA) равен 48°. Подставляем: 90° + 48° + ∠ BMK = 180°.
9. Вычисляем ∠ BMK: ∠ BMK = 180° - 90° - 48° = 42°.

Ответ: 42°