2. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Доказательство свойства диагоналей прямоугольника.

2. Прямоугольник

Определение: Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (по 90°).

Свойства прямоугольника:

• Противоположные стороны равны и параллельны.
• Все углы прямые (по 90°).
• Диагонали равны.
• Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство свойства диагоналей прямоугольника:

Рассмотрим прямоугольник \( ABCD \) со сторонами \( a \) и \( b \). Диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \).

1. Равенство диагоналей:

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle DCB \). Они прямоугольные, имеют общий катет \( BC \) и равные катеты \( AB = DC = a \). Следовательно, по двум катетам, \( \triangle ABC = \triangle DCB \). Значит, их гипотенузы равны: \( AC = BD \).

2. Точка пересечения диагоналей делит их пополам:

Рассмотрим \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \). \( AB = CD \) (противоположные стороны прямоугольника). \( \angle BAC = \angle ACD \) (накрест лежащие углы при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \)). \( \angle ABD = \angle BDC \) (накрест лежащие углы при параллельных \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BD \)).

Следовательно, \( \triangle AOB = \triangle COD \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) или по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними), так как \( AB = CD \), \( \angle OAB = \angle OCD \), \( \angle OBA = \angle ODC \) (как накрест лежащие).

Из равенства треугольников следует, что \( AO = CO \) и \( BO = DO \). Это означает, что точка \( O \) делит диагонали \( AC \) и \( BD \) пополам.